题型一　圆锥曲线的共同特征及应用

例1　曲线上的点M(x，y)到定点F(1,0)的距离和它到定直线l：x＝2的距离的比是常数，求曲线方程.

解　设d是点M到直线l的距离，根据题意，曲线上的点M满足：＝.

由此得＝，

即有2＝|2－x|，

将上式两边平方，化简得＋y2＝1.

反思与感悟　此类问题采用求曲线方程的一般方法，通过题意列出关于点M(x，y)的等式，化简得出曲线方程.通过运算的结果不难发现，椭圆是到定点的距离与到定直线的距离之比为常数的点所成的曲线，并且这个常数的范围为(0,1).

跟踪训练1　曲线上的点M(x，y)到定点F(，0)的距离和它到定直线l：x＝的距离的比是常数，求曲线方程.

解　设d是点M到直线l的距离，根据题意，曲线上的点M满足：＝.

由此得，＝，

即有2＝，

将上式两边平方，化简得－y2＝1.

故所求曲线方程为－y2＝1.

题型二　直线与圆锥曲线的公共点问题

例2　已知双曲线x2－y2＝4，直线l：y＝k(x－1)，讨论直线与双曲线公共点个数.

解　联立方程组消去y，整理得：

(1－k2)x2＋2k2x－k2－4＝0.①