由排序原理得12＋x2＋x4＋...＋x2n

　　≥1·xn＋x·xn－1＋...＋xn－1·x＋xn·1

　　即1＋x2＋x4＋...＋x2nn≥(n＋1)xn.①

　　又因为x，x2，...，xn,1为1，x，x2，...，xn的一个排列

　　由排序原理得：1·x＋x·x2＋...＋xn－1·xn＋xn·1

　　≥1·xn＋x·xn－1＋...＋xn－1·x＋xn·1

　　得x＋x3＋...＋x2n－1＋xn≥(n＋1)xn②

　　将①②相加得1＋x＋x2＋...＋x2n≥(2n＋1)xn.

用排序不等式证明不等式(对所证不等式中的字母大小顺序作出假设) 　　

　　[例2]　在△ABC中，试证：≤

　　[思路点拨]　可构造△ABC的边和角的有序数列，应用排序不等式来证明．

　　[证明]　不妨设a≤b≤c，于是A≤B≤C.

　　由排序不等式，得

　　aA＋bB＋cC≥aA＋bB＋cC，

　　aA＋bB＋cC≥bA＋cB＋aC，

　　aA＋bB＋cC≥cA＋aB＋bC.

　　相加，得3(aA＋bB＋cC)≥(a＋b＋c)(A＋B＋C)

　　＝π(a＋b＋c)，得≥.

　　在排序不等式的条件中需要限定各数值的大小关系，对于没有给出大小关系的情况，要根据各字母在不等式中地位的对称性，限定一种大小关系．