当两圆相交时，联立方程组 {■(x^2+y^2+D_1 x+E_1 y+F_1=0 ⋯⋯①@x^2+y^2+D_2 x+E_2 y+F_2=0 ⋯⋯②)┤，

①-② 得 (D_1-D_2 ​)x+(E_1-E_2 )y+F_1-F_2=0 ⋯⋯③ ．

若两圆交点为 A(x_1,y_1 )，B_1 (x_2,y_2 )，可知  A 、 B  的坐标适合方程 ①②，也适合方程 ③，因此方程 ③ 就是经过两圆交点的直线方程．

公共弦长的求法

代数法：将两圆的方程联立，求出交点坐标，利用两点间的距离公式求弦长．

几何法：求出公共弦所在的直线方程，半径、弦心距、半弦长构成直角三角形的三边长，利用勾股定理求弦长．

精选例题

圆与圆

1. 圆 x^2+y^2-6x-2y+9=0 与圆 x^2+y^2-2y-8=0 的位置关系是 ．

【答案】 相交

【分析】 圆 x^2+y^2-6x-2y+9=0 的标准方程为 (x-3)^2+(y-1)^2=1，圆心是 C(3,1)，半径 r_1=1．

x^2+y^2-2y-8=0 的标准方程为 x^2+(y-1)^2=9，圆心是 Cʹ(0,1)，半径 r_2=3．

所以 ∣CʹC∣=3，

因为 ∣r_1-r_2∣=2，r_1+r_2=4，

所以 ∣r_1-r_2∣<∣CʹC∣