例1．海报版面尺寸的设计

学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行宣传。现让你设计一张如图1.4-1所示的竖向张贴的海报，要求版心面积为128dm2,上、下两边各空2dm,左、右两边各空1dm。如何设计海报的尺寸，才能使四周空心面积最小？

解：设版心的高为xdm，则版心的宽为dm,此时四周空白面积为

。

求导数，得

　。

　令，解得舍去）。

　于是宽为。

　当时，<0；当时，>0.

　因此，是函数的极小值，也是最小值点。所以，当版心高为16dm，宽为8dm时，能使四周空白面积最小。

　答：当版心高为16dm，宽为8dm时，海报四周空白面积最小。

1、 生活中的优化问题转化为数学问题

2、 立数学模型（勿忘确定函数定义域）

3、 利用导数法讨论函数最值问题

　　例2．饮料瓶大小对饮料公司利润的影响

　　（1）你是否注意过，市场上等量的小包装的物品一般比大包装的要贵些？

　　（2）是不是饮料瓶越大，饮料公司的利润越大？

　　【背景知识】：某制造商制造并出售球型瓶装的某种饮料．瓶子的制造成本是 分，其中 是瓶子的半径，单位是厘米。已知每出售1 mL的饮料，制造商可获利 0.2 分,且制造商能制作的瓶子的最大半径为 6cm

　　问题：（１）瓶子的半径多大时，能使每瓶饮料的利润最大？

　　 （２）瓶子的半径多大时，每瓶的利润最小？

　　解：由于瓶子的半径为，所以每瓶饮料的利润是

　　令 解得 （舍去）

　　当时，；当时，．

　　当半径时，它表示单调递增，即半径越大，利润越高；

　　当半径时， 它表示单调递减，即半径越大，利润越低．

　　（1）半径为cm 时，利润最小，这时，表示此种瓶内饮料的利润还不够瓶子的成本，此时利润是负值．

　　（2）半径为cm时，利润最大．

　　换一个角度：如果我们不用导数工具，直接从函数的图像上观察，会有什么发现？

　　有图像知：当时，，即瓶子的半径为3cm时，饮料的利润与饮料瓶的成本恰好相等；当时，利润才为正值．

　　当时，，为减函数，其实际意义为：瓶子的半径小于2cm时，瓶子的半径越大，利润越小，半径为cm 时，利润最小．