也就是说,当k=±时,a+kb与a.-kb互相垂直.

点评:本题主要考查向量的数量积性质中垂直的充要条件.

变式训练

(007海南三亚)设a、b、c是非零向量,下列命题正确的是( )

A.(a.·b)·c=a.·(b·c) B.|a.-b|2=|a.|2-2|a.||b|+|b|2

C.若|a.|=|b|=|a.+b|,则a与b的夹角为60° D.若|a|=|b|=|a.-b|,则a.与b的夹角为60°

解析:设θ是a.和b的夹角,∵|a|=|b|,

∴|a-b|2=(a-b)2=a2-2a·b+b2

=2|a|2-2a·b=|a|2.

∴cosθ=.

又∵0≤θ≤180°,∴θ=60°.

答案:D

例4 在△A.BC中,设边BC,CA.,A.B的长度分别为a,b,c.

证明a2=b2+c2-2bcCosA.,

b2=c2+a2-2cacosB,

c2=a2+b2-2acosC.

图5

证明:如右图,设=c,=a,=b,则a2=|a|2=||2=·

=(-)·(-)

=(b-c)·(b-c)

=b·b+c·c-2b·c

=|b|2+|c|2-2|b||c|cosA.

=b2+c2-2bccosA.

同理可证其他二式,我们把这个结果称为余弦定理,以后我们还要专门讨论它的意义.

思路2

例1 已知在四边形ABCD中,=a,=b,=c,=d,且a·b=c·d=b·c=d·a.,试问四边形ABCD的形状如何？

解:∵+++=0,

即a+b+c+d=0,

∴a+b=-(c+d).

由上可得(a+b)2=(c+d)2,

即a2+2a·b+b2=c2+2c·d+d2.

又∵a·b=c·d,故a2+b2=c2+d2.

同理可得a2+d2=b2+c2.