类型一　含绝对值不等式的证明

例1　设函数f(x)＝x2－2x，|x－a|＜1.

求证：|f(x)－f(a)|＜2|a|＋3.

证明　∵f(x)＝x2－2x，且|x－a|＜1，

∴|f(x)－f(a)|＝|x2－2x－a2＋2a|

＝|(x＋a)(x－a)－2(x－a)|

＝|(x－a)(x＋a－2)|＝|x－a|·|x＋a－2|

＜|x＋a－2|＝|(x－a)＋(2a－2)|

≤|x－a|＋|2a－2|

＜1＋|2a|＋|2|＝2|a|＋3，

∴|f(x)－f(a)|＜2|a|＋3.

反思与感悟　两类含绝对值不等式的证明技巧

一类是比较简单的不等式，往往可通过平方法、换元法去掉绝对值转化为常见的不等式证明，或利用||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|，通过适当的添、拆项证明．

另一类是综合性较强的函数型含绝对值的不等式，往往可考虑利用一般情况成立，则特殊情况也成立的思想，或利用一元二次方程的根的分布等方法来证明．

跟踪训练1　已知|A－a|＜，|B－b|＜，|C－c|＜，求证：|(A＋B＋C)－(a＋b＋c)|＜s.

证明　∵|(A＋B＋C)－(a＋b＋c)|＝|(A－a)＋(B－b)＋(C－c)|≤|(A－a)＋(B－b)|＋|C－c|≤|A－a|＋|B－b|＋|C－c|，

又∵|A－a|＜，|B－b|＜，|C－c|＜，

∴|A－a|＋|B－b|＋|C－c|＜＋＋＝s，

∴|(A＋B＋C)－(a＋b＋c)|＜s.

类型二　利用绝对值不等式求最值

例2　(1)求函数y＝|x－3|－|x＋1|的最大值和最小值；

(2)如果关于x的不等式|x－3|＋|x－4|＜a的解集为空集，求参数a的取值范围．

解　(1)∵||x－3|－|x＋1||≤|(x－3)－(x＋1)|＝4，

∴－4≤|x－3|－|x＋1|≤4，

∴ymax＝4，ymin＝－4.