2018-2019学年人教A版选修4-5 第三讲柯西不等式与排序不等式复习 教案
2018-2019学年人教A版选修4-5   第三讲柯西不等式与排序不等式复习   教案第3页

  2.设a,b,c∈R+,求证:a5+b5+c5≥a3bc+b3ac+c3ab.

  【证明】 不妨设a≥b≥c>0,则a4≥b4≥c4,

  运用排序不等式有:

  a5+b5+c5=a×a4+b×b4+c×c4≥ac4+ba4+cb4.

  又a3≥b3≥c3>0,

  且ab≥ac≥bc>0,

  所以a4b+b4c+c4a=a3ab+b3bc+c3ca≥a3bc+b3ac+c3ab,

  即a5+b5+c5≥a3bc+b3ac+c3ab.

  题型三、利用柯西不等式、排序不等式求最值

  有关不等式的问题往往要涉及到对式子或量的范围的限制,柯西不等式、排序不等式为我们通过不等式求最值提供了新的有力工具,但一定要注意取等号的条件能否满足.

  例3 设a,b,c为正实数,且a+2b+3c=13,求++的最大值.

  【规范解答】 由于a,b,c为正实数,根据柯西不等式,知

  (a+2b+3c)

  =[()2+()2+

  ()2]

  ≥2

  =(++)2,

  ∴(++)2≤,

  即++≤,

  当且仅当==时取等号.

  又a+2b+3c=13,∴当a=9,b=,c=时,

  ++取得最大值为.

  [再练一题]

  3.已知实数a,b,c,d,e满足a2+b2+c2+d2+e2=16.求a+b+c+d+e的最大值.

【解】 a+b+c+d+e=≤