证明不等式的方法与技巧

　　(1)观察式子的结构特点，分析题目中的条件．若具备"一正，二定，三相等"的条件，可直接应用该定理．

　　若题目中不具备该条件，要注意经过适当的恒等变形后再使用定理证明．

　　(2)三个正数的算术-几何平均不等式是根据不等式的意义、性质和比较法证出的，因此凡是利用该不等式证明的不等式，一般可用比较法证明．

　　1．设a，b，c∈R＋，求证(a＋b＋c)≥9.

　　证明：∵当a，b，c∈R＋时，a＋b＋c≥3，

　　＋＋≥3.

　　∴(a＋b＋c)≥9，

　　当且仅当a＝b＝c时，等号成立．

　　2．已知a1，a2，...，an都是正数，且a1a2...an＝1，求证：

　　(2＋a1)(2＋a2)...(2＋an)≥3n.

　　证明：因为a1是正数，根据三个正数的平均不等式，有2＋a1＝1＋1＋a1≥3.

　　同理2＋aj≥3 (j＝2,3，...，n)．

　　将上述各不等式的两边分别相乘即得

　　(2＋a1)(2＋a2)...(2＋an)

　　≥(3)(3)...(3)

　　＝3n·.

　　∵a1a2...an＝1，∴(2＋a1)(2＋a2)...(2＋an)≥3n.

　　当且仅当a1＝a2＝...＝an＝1时，等号成立.

用平均不等式求最值 　　[例2]　(1)求函数y＝(x－1)2(3－2x)的最大值．

　　(2)求函数y＝x＋(x>1)的最小值．

[思路点拨]　(1)对于积的形式求最大值，应构造和为定值；