2.2 最大值、最小值问题

【课标学习目标】

　　了解导数在实际问题中的应用，对给出的实际问题，如使利润最大、效率最高、用料最省等问题，体会导数在解决实际问题中的作用，并能正确利用导数这一工具求出最大(小)值．

[情景引入]

寻求优化是人类的一种本能，不仅是人类，整个大自然中都充斥着这一现象．像蜜蜂所造的蜂窝，更是省到家了，其结构的巧妙，能如此省材料更让人折服．在人们的日常生活中，最优化无处不在，刷牙时会发现，牙膏的包装有大有小．其价格也不相同，你想过大小包装与其价格之间的关系吗？吃东西时，想过营养成分的搭配吗？开灯关灯时，想过灯的位置与照明度的题目吗？开、关窗户时，想过窗户的面积与采光量的题目吗？总而言之，在经济如此发展，竞争如此剧烈，资源日渐紧张的今天，人们做任何事，无不探求事半功倍之术，以求或提效、或增收、或节约等等．

【课前预习】

1．求利润最大、用料最省，效率最高问题，这些问题通常称为________．

2．利用导数求实际问题的最大(小)值的一般方法和注意问题：

(1)细致分析实际问题中各个量之间的关系，正确设定所求最大值或最小值的变量y与自变量x，把实际问题转化为数学问题，即列出函数关系式________，根据实际问题确定y＝f(x)的________．

(2)求f′(x)，解方程________，得出所有实数根．

(3)比较函数在各个根和端点处的函数值的大小，根据问题的实际意义确定函数的最大值或最小值．应注意的问题：①求实际问题的最大(小)值时，要从问题的实际意义去考察，不符合实际意义的理论值就应舍去．②在实际问题中，由f′(x)＝0常常仅解到一个根，若能判断函数的最大(小)值在x的变化区间内部得到，则这个根处的函数值就是所求的________．

【题型探究】

【例1】用长为90 cm，宽为48 cm的长方形铁皮做一个无盖容器，先在四角分别截