当且仅当a＝b＝c时等号成立．

反思与感悟　证明不等式的方法

(1)首先观察所要证的式子结构特点及题目所给条件，看是否满足"一正、二定、三相等"的条件．若满足即可利用平均值不等式证明．

(2)若题目不满足该条件，则可灵活利用已知条件构造出能利用三个正数的基本不等式的式子．

跟踪训练2　(1)已知a，b，c∈R，求证：a4＋b4＋c4≥a2b2＋b2c2＋c2a2；

(2)设a，b，c都是正数，求证：＋＋≥a＋b＋c.

证明　(1)a4＋b4≥2a2b2，

同理a4＋c4≥2a2c2，b4＋c4≥2b2c2，

将以上三个不等式相加，得

a4＋b4＋a4＋c4＋b4＋c4≥2a2b2＋2a2c2＋2b2c2，

即a4＋b4＋c4≥a2b2＋a2c2＋b2c2，

当且仅当a＝b＝c时，等号成立．

(2)∵当a>0，b>0时，a＋b≥2，

∴＋≥2＝2c.

同理＋≥2＝2b，

＋≥2＝2a.

将以上三不等式相加，得2≥2(a＋b＋c)，

∴＋＋≥a＋b＋c，

当且仅当a＝b＝c时，等号成立．

类型三　证明不等式的技巧--"1"的代换

例3　已知a，b，c∈R＋，且a＋b＋c＝1，求证：＋＋≥9.

证明　方法一　∵a，b，c为正实数，且a＋b＋c＝1，