空间向量的数乘运算

学习目标　1.掌握空间向量数乘运算的定义及数乘运算的运算律.2.了解平行(共线)向量、共面向量的意义，掌握它们的表示方法.3.理解共线向量的充要条件和共面向量的充要条件及其推论，并能应用其证明空间向量的共线、共面问题．

知识点一　空间向量的数乘运算

思考　实数λ和空间向量a的乘积λa的意义是什么？向量的数乘运算满足哪些运算律？

答案　λ＞0时，λa和a方向相同；λ＜0时，λa和a方向相反；λa的长度是a的长度的|λ|倍．

空间向量的数乘运算满足分配律及结合律：

①分配律：λ(a＋b)＝λa＋λb，

②结合律：λ(μa)＝(λμ)a.

梳理　(1)实数与向量的积

与平面向量一样，实数λ与空间向量a的乘积λa仍然是一个向量，称为向量的数乘运算，记作λa，其长度和方向规定如下：

①|λa|＝|λ||a|.

②当λ>0时，λa与向量a方向相同；当λ<0时，λa与向量a方向相反；当λ＝0时，λa＝0.

(2)空间向量数乘运算满足以下运算律

①λ(μa)＝(λμ)a；

②λ(a＋b)＝λa＋λb；

③(λ1＋λ2)a＝λ1a＋λ2a(拓展)．

知识点二　共线向量与共面向量

思考1　回顾平面向量中关于向量共线知识，给出空间中共线向量的定义．

答案　如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量．

思考2　空间中任何两个向量都是共面向量，这个结论是否正确？

答案　正确．根据向量相等的定义，可以把向量进行平移，空间任意两个向量都可以平移到同一平面内，成为共面向量．

梳理　(1)平行(共线)向量