2018-2019学年人教A版选修4-5 1.2.1绝对值三角不等式 学案
2018-2019学年人教A版选修4-5 1.2.1绝对值三角不等式 学案第2页

类题演练1

求证:

证明:先证必要性.

∵|a|=||≤

∴|a|

∵|b|=||≤

∴|b|

再证充分性.

(1)当|a|≥|b|时,a2≥b2,即(a+b)(a-b)≥0,此时与同号或其中之一为0,则=||=|a|

(2)当|a|<|b|时,a2

∴||+||=|-|=|b|

∴当|a|

故||+||

变式提升1

已知a、b、c∈R,求证:.

证明:设f(x)=(x≥0),

可知当x≥0时,f(x)为增函数.

∵0≤|a+b+c|≤|a|+|b|+|c|,

∴f(|a|+|b|+|c|)≥f(|a+b+c|),得

二、应用绝对值三角不等式等号成立的条件解题

【例3】 (1)设a、b∈R且|a+b+1|≤1,|a+2b+4|≤4,求|a|+|b|的最大值.

解析:|a+b|=|(a+b+1)-1|

≤|a+b+1|+|-1|

≤1+1=2,

|a-b|=|3(a+b+1)-2(a+2b+4)+5|

≤3|a+b+1|+2|a+2b+4|+5