典题精讲

例1 用向量法证明平行四边形两对角线的平方和等于四条边的平方和.

思路分析:考查应用向量解决几何问题.把平行四边形的边和对角线的长看成向量的长度，转化为证明向量长度之间的关系.基向量法和坐标法均可解决.

解：已知：四边形ABCD是平行四边形，

求证：||2+||2=2||2+2||2.

证法一：如图2-4-1所示，设=a,=b，

图2-4-1

∴=a+b，=b-a.

∴||2=(a+b)2=a2+2a·b+b2，

||2=(b-a)2=a2-2a·b+b2.

∴||2+||2=2a2+2b2.

又∵2||2+2||2=2a2+2b2，

∴||2+||2=2||2+2||2，

即平行四边形两对角线的平方和等于四条边的平方和.

证法二：如图2-4-2所示，以A为原点，以AB所在直线为x轴，建立直角坐标系.

图2-4-2

设A(0，0)、D(a，b)、B(c，0)，

∴

==(c，0)+(a，b)=(a+c，b)，

=(a，b)-(c，0)=(a-c，b).