2019-2020学年北师大版选修2-2 导数及其应用 章末复习 学案
2019-2020学年北师大版选修2-2    导数及其应用 章末复习     学案第2页

(1)在利用导数讨论函数的单调区间时,首先要确定函数的定义域,解决问题的过程中,只能在函数的定义域内,通过讨论导数的符号,来判断函数的单调区间;

(2)注意在某一区间内f′(x)>0(或f′(x)<0)是函数f(x)在该区间上为增(或减)函数的充分条件.

5.利用导数研究函数的极值要注意

(1)极值是一个局部概念,是仅对某一点的左右两侧领域而言的.

(2)连续函数f(x)在其定义域上的极值点可能不止一个,也可能没有极值点,函数的极大值与极小值没有必然的大小联系,函数的一个极小值也不一定比它的一个极大值小.

(3)可导函数的极值点一定是导数为零的点,但函数的导数为零的点,不一定是该函数的极值点.因此导数为零的点仅是该点为极值点的必要条件,其充要条件是加上这点两侧的导数异号.

6.求函数的最大值与最小值

(1)函数的最大值与最小值:在闭区间[a,b]上连续的函数f(x),在[a,b]上必有最大值与最小值;但在开区间(a,b)内连续的函数f(x)不一定有最大值与最小值,例如:f(x)=x3,x∈(-1,1).

(2)求函数最值的步骤

一般地,求函数y=f(x)在[a,b]上最大值与最小值的步骤如下:

①求函数y=f(x)在(a,b)内的极值;

②将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值f(a),f(b)比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值.

7.应用导数解决实际问题,关键在于建立恰当的数学模型(函数关系),如果函数在区间内只有一个点x0,使f′(x0)=0,则f(x0)是函数的最值.

题型一 应用导数解决与切线相关的问题

根据导数的几何意义,导数就是相应切线的斜率,从而就可以应用导数解决一些与切线相关的问题.

例1 (2018·福建)已知函数f(x)=x-aln x(a∈R).

(1)当a=2时,求曲线y=f(x)在点A(1,f(1))处的切线方程;

(2)求函数f(x)的极值.

解 函数f(x)的定义域为(0,+∞),f′(x)=1-.

(1)当a=2时,f(x)=x-2ln x,f′(x)=1-(x>0),

∴f(1)=1,f′(1)=-1,