思考4　在"近似代替"中，如果认为函数f(x)＝x2在区间[，](i＝1,2，...，n)上的值近似地等于右端点处的函数值f()，用这种方法能求出S的值吗？若能求出，这个值也是吗？取任意ξi∈[，]处的函数值f(ξi)作为近似值，情况又怎样？其原理是什么？

答　以上方法都能求出S＝.我们解决此类问题的原理是"近似代替"和"以直代曲"，在极限状态下，小曲边梯形可以看做小矩形．

例1　求由直线x＝0，x＝1，y＝0和曲线y＝x2所围成的图形的面积．

过各分点作x轴的垂线，把曲边梯形分成n个小曲边梯形，它们的面积分别记作ΔS1，ΔS2，...，ΔSn.

(2)近似代替

在区间[，](i＝1,2，...，n)上，以的函数值2作为高，小区间的长度Δx＝作为底边的小矩形的面积作为第i个小曲边梯形的面积，即ΔSi≈()2·.

(3)求和

曲边梯形的面积近似值为

S＝ni＝1Si≈ni＝1()2·＝0·＋()2·＋()2·＋...＋()2·＝[12＋22＋...＋(n－1)2]＝(1－)(1－)．

(4)取极限

曲边梯形的面积为

S＝ (1－)(1－)＝.

反思与感悟　求曲边梯形的思想及步骤：(1)思想：以直代曲、逼近；(2)步骤：分割→近似代替→求和→取极限；(3)关键：近似代替；(4)结果：分割越细，面积越精确．

跟踪训练1　求由抛物线y＝x2与直线y＝4所围成的曲边梯形的面积．

解　∵y＝x2为偶函数，图象关于y轴对称，∴所求曲边梯形的面积应为抛物线y＝x2(x≥0)与直线x＝0，y＝4所围图形面积S阴影的2倍，下面求S阴影．由，

得交点为(2,4)，

如图所示，先求由直线x＝0，x＝2，y＝0和曲线y＝x2围成的曲边梯形的面积．