解:(1)根据椭圆的几何性质,以坐标轴为对称轴的椭圆与坐标轴的交点就是椭圆的顶点,所以P、Q分别是椭圆的长轴和短轴的一个端点,于是有a=3,b=2.又因为长轴在x轴上,故所求的椭圆的标准方程为+=1.

(2)由已知2a=20,e==,解得a=10,c=6,b2=a2-c2=64.由于椭圆的焦点不确定在哪条坐标轴上,所以所求的椭圆的标准方程为

+=1或+=1.

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由椭圆的几何性质求椭圆的标准方程,一般步骤是:①求出a、b的值;②确定焦点的位置;③写出标准方程.

变式训练

1.已知c=8,e=,求椭圆的标准方程.

解析:根据题意列出关于a、b的方程,由待定系数法求解.

解:由e==,c=8解得a=12.

而b2=a2-c2=80,

所以椭圆的标准方程为+=1或+=1.

【例2】已知椭圆+=1(a＞b＞0)的右焦点为F,经过点F作倾斜角为135°的直线l交椭圆于A、B两点,线段AB的中点为M,且直线AB与OM的夹角为θ,且tanθ=3,求这个椭圆的离心率.

解析:本题先根据题意求出直线AB的斜率,再依据直线与椭圆的方程联立消去其中一个未知数,找到相应的两个交点A、B的横(或纵)坐标之间的关系,从而表示出相应的中点M的坐标,从而将问题解决.

解:设点A(x1,y1)、B(x2,y2),AB的中点为M(x0,y0),则+=1,+=1,

两式相减可得kAB==·=-1,

所以a2y0=b2x0.

又kOM==1-e2,而||=tanθ=3,

故kOM=或kOM=2(∵a＞b,＜1,∴kOM=2舍去),