二项式定理的正用、逆用[学生用书P12]

　　　(1)求(3＋)4的展开式；

　　(2)化简：(x－1)5＋5(x－1)4＋10(x－1)3＋10(x－1)2＋5(x－1)．

　　【解】　(1)法一：(3＋)4＝C(3)4＋C(3)3·＋C(3)2·()2＋C·3·()3＋C·＝81x2＋108x＋54＋＋.

　　法二：(3＋)4＝

　　＝(81x4＋108x3＋54x2＋12x＋1)

　　＝81x2＋108x＋54＋＋.

　　(2)原式＝C(x－1)5＋C(x－1)4＋C(x－1)3＋C(x－1)2＋C(x－1)＋C(x－1)0－1

　　＝[(x－1)＋1]5－1＝x5－1.

　　运用二项式定理的解题策略

　　(1)正用：求形式简单的二项展开式时可直接由二项式定理展开，展开时注意二项展开式的特点：前一个字母是降幂，后一个字母是升幂．形如(a－b)n的展开式中会出现正负间隔的情况．对较繁杂的式子，先化简再用二项式定理展开．　

　　(2)逆用：逆用二项式定理可将多项式化简，对于这类问题的求解，要熟悉公式的特点、项数、各项幂指数的规律以及各项的系数．

　　[注意]　逆用二项式定理时如果项的系数是正负相间的，则是(a－b)n的形式．

　　　1.化简(x＋1)4－4(x＋1)3＋6(x＋1)2－4(x＋1)＋1的结果为(　　)

　　A．x4　　　　　　　　　　　　　 B．(x－1)4

　　C．(x＋1)4 D．x4－1

　　解析：选A.(x＋1)4－4(x＋1)3＋6(x＋1)2－4(x＋1)＋1＝C(x＋1)4＋C(x＋1)3(－1)1＋C(x＋1)2(－1)2＋C(x＋1)(－1)3＋C(x＋1)0(－1)4＝[(x＋1)－1]4＝x4，故选A.

　　2．设n为自然数，化简C·2n－C·2n－1＋...＋(－1)k·C·2n－k＋...＋(－1)n·C＝________．

解析：原式＝C·2n·(－1)0＋C2n－1·(－1)1＋...＋(－1)k·C2n－k＋...＋(－1)n·C·20＝(2－1)