(2)若点M到直线l的距离的最小值为,求抛物线E的方程.

解析　(1)由题意得,抛物线E的焦点为F,直线l1的方程为y=k1x+.

由得x2-2pk1x-p2=0.

设A,B两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),则x1,x2是上述方程的两个实数根.

从而x1+x2=2pk1,y1+y2=k1(x1+x2)+p=2p+p.

所以点M的坐标为,=(pk1,p).

同理可得点N的坐标为,=(pk2,p),

于是·=p2(k1k2+).

由题设知k1+k2=2,k1>0,k2>0,k1≠k2,

所以0

故·

(2)由抛物线的定义得|FA|=y1+,|FB|=y2+,所以|AB|=y1+y2+p=2p+2p,从而圆M的半径r1=p+p.

故圆M的方程为(x-pk1)2+=(p+p)2,

化简得x2+y2-2pk1x-p(2+1)y-p2=0.

同理可得圆N的方程为x2+y2-2pk2x-p(2+1)y-p2=0.

于是圆M,圆N的公共弦所在直线l的方程为(k2-k1)x+(-)y=0.

又k2-k1≠0,k1+k2=2,则l的方程为x+2y=0.

因为p>0,所以点M到直线l的距离

d===.

故当k1=-时,d取最小值.由题设知=,解得p=8.故所求的抛物线E的方程为x2=16y.

考点二　抛物线的几何性质

1.(2018浙江,5,5分)如图,设抛物线y2=4x的焦点为F,不经过焦点的直线上有三个不同的点A,B,C,其中点A,B在抛物线上,点C在y轴上,则△BCF与△ACF的面积之比是(　　)

A. B.

C. D.

答案　A

2.(2018四川,6,5分)抛物线y2=4x的焦点到双曲线x2-=1的渐近线的距离是(　　)

A. B. C.1 D.

答案　B

3.(2018天津,14,5分)设抛物线(t为参数,p>0)的焦点为F,准线为l.过抛物线上一点A作l的垂线,垂足为B.设C,AF与BC相交于点E.若|CF|=2|AF|,且△ACE的面积为3,则p的值为　　　　.

答案　

教师用书专用(4-5)

4.(2018北京,7,5分)直线l过抛物线C:x2=4y的焦点且与y轴垂直,则l与C所围成的图形的面积等于(　　)

A. B.2 C. D.

答案　C

5.(2018江西,14,5分)抛物线x2=2py(p>0)的焦点为F,其准线与双曲线-=1相交于A,B两点,若△ABF为等边三角形,则p=　　　　.

答案　6