[课堂小结]

1．解决优化问题的过程是一个典型的数学建模过程．

2．利用导数解决优化问题，往往归结为求函数的最大值或最小值问题．

3．利用导数解决优化问题时，要注意以下几点：

(1)当问题中涉及多个变量时，应根据题意分析它们的关系，找出变量间的关系式；

(2)确定函数关系式中自变量的取值范围；

(3)所得的结果要符合问题的实际意义．

[当堂检测]

1．某产品的销售收入y1(万元)是产量x(千台)的函数：y1＝17x2(x>0)，生产成本y2(万元)是产量x(千台)的函数：y2＝2x3－x2(x>0)，为使利润最大，应生产(　　)

A．6千台 B．7千台

C．8千台 D．9千台

解析：设利润为y，则y＝y1－y2＝17x2－(2x3－x2)＝－2x3＋18x2(x>0)，

∴y′＝－6x2＋36x＝－6x(x－6)．

令y′＝0，解得x＝0或x＝6，经检验知x＝6既是函数的极大值点又是函数的最大值点．

答案：A

2．某厂要围建一个面积为512平方米的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁，其他三边要砌新墙，当砌新墙所用的材料最省时，堆料场的长和宽分别为(　　)

A．32米，16米 B．30米，15米

C．40米，20米 D．36米，18米

解析：设新建堆料场与原墙平行的一边长为x米，其他两边长为y米，则xy＝512，新建围墙的长l＝x＋2y＝＋2y(y>0)，令l′＝－＋2＝0，解得y＝16(另一负根舍去)，当016时，l′>0，所以当y＝16时，函数取得极小值，也就是最小值，此时x＝＝32. 选择：A

3．以长为10的线段AB为直径作半圆，则它的内接矩形面积的最大值为(　　)

A．10 B．15

C．25 D．50

解析：设矩形的一边长为x，则另一边长为2，于是矩形面积S(x)＝2x·，