限的情况 理解如何增加的，也就容易理解了．

　　答案：

　　【例1】 　证明：(1)当n＝1时，原式＝(3×1＋1)×7－1＝27，能被9整除，命题成立．

　　(2)假设当n＝k(k∈N＋，k≥1)时，(3k＋1)·7k－1能被9整除，则当n＝k＋1时，

　　[3(k＋1)＋1]·7k＋1－1

　　＝[21(k＋1)＋7]·7k－1

　　＝[(3k＋1)＋(18k＋27)]·7k－1

　　＝[(3k＋1)·7k－1]＋9(2k＋3)·7k.

　　∵[(3k＋1)·7k－1]和9(2k＋3)·7k都能被9整除，

　　∴[(3k＋1)·7k－1]＋9(2k＋3)·7k能被9整除，

　　即[3(k＋1)＋1]·7k＋1－1能被9整除，

　　即当n＝k＋1时命题成立．

　　由(1)(2)可知，对任何n∈N＋，命题都成立，即(3n＋1)·7n－1能被9整除(n∈N＋)．

　　【例2】 　解：(1)由题设，当n＝3时，得a3a4＝10.

　　因为a3，a4均为非负整数，

　　所以a3 的可能值为1,2,5,10.

　　当a3＝1，则a4＝10，a5＝，与题设矛盾；

　　当a3＝5，则a4＝2，a5＝，与题设矛盾；

　　若a3＝10，则a4＝1，a5＝60，a6＝，与题设矛盾．

　　所以a3＝2.

　　(2)用数学归纳法证明：

　　当n＝3时，a3＝a1＋2，等式成立．

　　假设当n＝k(k≥3)时，等式成立，

　　即ak＝ak－2＋2，

　　因为ak＋1ak＝(ak－1＋2)(ak－2＋2)，

　　ak＝ak－2＋2≠0.

　　所以ak＋1＝ak－1＋2.

　　这就是说，当n＝k＋1时，等式an＝an－2＋2也成立．

　　综上，可知对所有n≥3，n∈N＋，有an＝an－2＋2，即an＝an－2＋2，n＝3,4,5，....

　　【例3】 　证明：(1)当n＝1时，一个圆将平面分成两个部分，且f(1)＝1－1＋2＝2，所以n＝1时命题成立．

　　(2)假设n＝k(k∈N＋，k≥1)时命题成立，即k个圆把平面分成f(k)＝k2－k＋2个部分．

　　则n＝k＋1时，在k＋1个圆中任取一个圆O，剩下的k个圆将平面分成f(k)个部分，而圆O与k个圆有2k个交点，这2k个交点将圆O分成2k段弧，每段弧将原平面一分为二，故得f(k＋1)＝f(k)＋2k＝k2－k＋2＋2k＝(k＋1)2－(k＋1)＋2.

　　所以当n＝k＋1时，命题成立．

由(1)(2)可知，对一切n∈N＋，命题成立，即这几个圆将平面分成f(n)＝n2－n＋2个部分(n∈N＋)．