函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率是li ＝li ，我们称它为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝li ＝li .

类型一　求函数的平均变化率

例1　已知函数f(x)＝2x2＋3x－5.

(1)求当x1＝4，x2＝5时，函数增量Δy和平均变化率；

(2)求当x1＝4，x2＝4.1时，函数增量Δy和平均变化率；

(3)若设x2＝x1＋Δx.分析(1)(2)题中的平均变化率的几何意义．

解　f(x)＝2x2＋3x－5，

∴Δy＝f(x1＋Δx)－f(x1)

＝2(x1＋Δx)2＋3(x1＋Δx)－5－(2x＋3x1－5)

＝2[(Δx)2＋2x1Δx]＋3Δx

＝2(Δx)2＋(4x1＋3)Δx.

＝＝2Δx＋(4x1＋3)．

(1)当x1＝4，x2＝5时，Δx＝1，

Δy＝2(Δx)2＋(4x1＋3)Δx＝2＋19＝21，＝21.

(2)当x1＝4，x2＝4.1时，Δx＝0.1，

Δy＝2(Δx)2＋(4x1＋3)Δx＝0.02＋1.9＝1.92.

＝2Δx＋(4x1＋3)＝19.2.

(3)在(1)题中＝＝，

它表示抛物线上点P0(4,39)与点P1(5,60)连线的斜率．

在(2)题中，＝＝，

它表示抛物线上点P0(4,39)与点P2(4.1,40.92)连线的斜率．

反思与感悟　求平均变化率的主要步骤：

(1)先计算函数值的改变量Δy＝f(x2)－f(x1)．

(2)再计算自变量的改变量Δx＝x2－x1.