导数在函数研究中的应用 教案

　　 (2018·福州模拟)已知函数f(x)＝－－ax(a∈R)．

　　(1)当a＝时，求函数f(x)的单调区间；

　　(2)若函数f(x)在[－1,1]上为单调函数，求实数a的取值范围．

　　[解]　(1)当a＝时，f(x)＝－－x，

　　f　′(x)＝[(ex)2－3ex＋2]＝(ex－1)(ex－2)，

　　令f　′(x)＝0，得ex＝1或ex＝2，即x＝0或x＝ln 2；

　　令f　′(x)>0，得x<0或x>ln 2；

　　令f　′(x)<0，则0

　　∴f(x)在(－∞，0]，[ln 2，＋∞)上单调递增，在(0，ln 2)上单调递减．

　　(2)f　′(x)＝＋－a，

　　令ex＝t，由于x∈[－1,1]，

　　∴t∈.

　　令h(t)＝＋，

　　h　′(t)＝－＝，

　　∴当t∈时，h′(t)<0，函数h(t)为单调减函数；

　　当t∈(，e]时，h′(t)>0，函数h(t)为单调增函数．

　　故h(t)在上的极小值点为t＝.

　　又h(e)＝＋

　　∴≤h(t)≤e＋.

∵函数f(x)在[－1,1]上为单调函数，若函数在[－1,1]上单调递增，则a≤＋对t∈恒成立，所以a≤；若函数f(x)在[－1,1]上单调递减，则a≥＋对t∈恒成立，所以a≥