[思路点拨]　由相交弦定理知PC·PD＝AP·PB，又P为AB的中点，∴PC·PD＝AP2.在Rt△PAO中再使用射影定理即可．

　　[证明]　连接OP，

　　∵P为AB的中点，

　　∴OP⊥AB，AP＝PB.

　　∵PE⊥OA，

　　∴AP2＝AE·AO.

　　∵PD·PC＝PA·PB＝AP2，

　　∴PD·PC＝AE·AO.

　　(1)相交弦定理的运用往往与相似三角形联系密切，也经常与垂径定理、射影定理等相结合进行某些计算与证明．

　　(2)由相交弦定理可得推论：垂直于弦的直径平分这条弦，且弦的一半是直径被弦分成的两条线段的比例中项．

　　1.如图，已知⊙O的两条弦AB，CD相交于AB的中点E，且AB＝4，DE＝CE＋3，则CD的长为(　　)

　　A．4　　　　　　　　　 B．5

　　C．8 D．10

　　解析：设CE＝x，则DE＝3＋x.根据相交弦定理，得x(x＋3)＝2×2，x＝1或x＝－4(不合题意，应舍去)．

　　则CD＝3＋1＋1＝5.

　　答案：B

　　2.如图，已知AB是⊙O的直径，OM＝ON，P是⊙O上的点，PM、PN的延长线分别交⊙O于Q、R.

求证：PM·MQ＝PN·NR.