因此在处,函数取得极大值,并且这个极大值就是函数的最大值.
将代入,得最大容积为.学
所以,箱子底边长为40cm时,容积最大,最大容积为16000cm3.
【名师点睛】(1)求几何体面积或体积的最值问题,关键是分析几何体的几何特征,根据题意选择适当的量建立面积或体积的函数,然后再用导数求最值;(2)注意根据实际意义对求出的解进行取舍.
某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度).设该蓄水池的底面半径为r米,高为h米,体积为V立方米.假设建造成本仅与表面积有关,侧面的建造成本为100元/平方米,底面的建造成本为160元/平方米,该蓄水池的总建造成本为12000π元(π为圆周率).
(1)将V表示成r的函数V(r),并求该函数的定义域;
(2)讨论函数V(r)的单调性,并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大.
【答案】(1),;(2)见解析.
(2)因为V(r)=(300r-4r3)(),所以.
令V′(r)=0,解得r1=5,r2=(因为r2=不在定义域内,舍去).
当r∈(0,5)时,V′(r)>0,故V(r)在(0,5)上为增函数;
当r∈(5,)时,V′(r)<0,故V(r)在(5,)上为减函数.
由此可知,V(r)在r=5处取得最大值,此时h=8,即当r=5,h=8时,该蓄水池的体积最大.
最小值问题
实际生活中用料最省、费用最低、损耗最小、最节省时间等问题都需要利用导数求解相应函数的最小值.