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类型一 利用柯西不等式证明不等式
命题角度1 三维形式的柯西不等式的应用
例1 设a，b，c为正数，且不全相等．
求证：＋＋＞.
证明 构造两组数，，；
，，，则由柯西不等式，得
(a＋b＋b＋c＋c＋a)≥(1＋1＋1)2，①
即2(a＋b＋c)≥9，
于是＋＋≥.
由柯西不等式知，①中等号成立⇔＝＝⇔a＋b＝b＋c＝c＋a⇔a＝b＝c.
因为题设中a，b，c不全相等，故①中等号不成立，
于是＋＋＞.
反思与感悟 有些问题一般不具备直接应用柯西不等式的条件，可以通过：
(1)构造符合柯西不等式的形式及条件，可以巧拆常数．
(2)构造符合柯西不等式的形式及条件，可以重新安排各项的次序．
(3)构造符合柯西不等式的形式及条件，可以改变式子的结构，从而达到使用柯西不等式的目的．
(4)构造符合柯西不等式的形式及条件，可以添项．
跟踪训练1 已知a，b，c∈R＋，求证：·≥9.
证明 由柯西不等式知，
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