直线Ax+By+C=0与圆x2+y2+Dx+Ey+F=0相交,则过其交点的圆系方程为:x2+y2+Dx+Ey+F+(Ax+By+C)=0.

典型例题分析

题型1曲线的方程与方程的曲线

【例1】判断下列命题是否正确:

①设点A(2,0)、B(0,2),则线段AB的方程是x+y-2=0;

②到原点的距离等于5的动点的轨迹是y=;

③到两坐标轴距离相等的点的轨迹方程是x2-y2=0.

解析 根据曲线与方程的定义,逐条检验"两性"

　　答案 命题①中方程x+y-2=0表示一条直线,坐标满足该方程的点如(-1,3)等不在线段AB上,故命题①错误;

　　命题②中到原点距离等于5的动点的轨迹方程为x2+y2=52,方程y=表示的曲线是圆x2+y2=25除去x轴下半部分的曲线,故命题②错误

　　命题③中到两坐标轴距离相等的点的轨迹方程为y=±x,满足x2-y2=0,反过来坐标满足方程x2-y=0的点到两坐标轴的距离相等,故命题③正确

规律总结 判断方程是否是曲线的方程,要从两个方面着手,一是检验点的坐标是否适合方程,二是检验以方程的解为坐标的点是否在曲线上

【变式训练1】下列命题是否正确?若不正确,说明原因

(1)过点A(2,0)平行于y轴的直线l的方程是|x|=2;

(2)到两坐标轴距离相等的点的轨迹方程是y=x

答案(1)错误,因为以方程|x|=2的解为坐标的点,不都在直线l上,直线l只是方程|x|=2所表示的图形的一部分

错误,因为到两坐标轴距离相等的点的轨迹有两条直线y=x和y=-x,故y=x不是所求的轨迹方程

题型2曲线的交点

【例2】求通过直线2x+y+4=0及圆x2+y2+2x-4y+1=0的交点,并且面积最小的圆的方程

解析 利用圆系公式可求出变圆的半径,参变量取适当值时可使变圆半径最小