知识点二　空间向量的数量积的性质

两个向量数量积的性质 ①若a，b是非零向量，则a⊥b⇔____________ ②若a与b同向，则a·b＝__________；若反向，则a·b＝__________. 特别地，a·a＝__________或|a|＝ ③若θ为a，b的夹角，则cos θ＝________________ ④|a·b|≤|a|·|b|

类型一　空间向量数量积的运算

命题角度1　空间向量数量积的基本运算

例1　(1)下列命题是否正确？正确的请给出证明，不正确的给予说明.

①p2·q2＝(p·q)2；

②|p＋q|·|p－q|＝|p2－q2|；

③若a与(a·b)·c－(a·c)·b均不为0，则它们垂直.

(2)设θ＝〈a，b〉＝120°，|a|＝3，|b|＝4，求：

①a·b；②(3a－2b)·(a＋2b).

反思与感悟　(1)如果已知a，b的模及a与b的夹角，则可直接代入数量积的公式计算.

(2)如果欲求的是关于a与b的多项式形式的数量积，可以先利用数量积的运算律将多项式展开，再利用a·a＝|a|2及数量积公式进行计算.

跟踪训练1　已知a，b均为单位向量，它们的夹角为60°，那么|a＋3b|等于(　　)

A. B. C. D.4

命题角度2　利用空间向量的数量积解决立体几何中的运算问题

例2　已知在长方体ABCD-1C1D1中，AB＝AA1＝2，AD＝4，E为侧面AB1的中心，F为A1D1的中点.试计算：

(1)\s\up6(→(→)·\s\up6(→(→)；(2)\s\up6(→(→)·\s\up6(→(→)；(3)\s\up6(→(→)·\s\up6(→(→).