第二课时　利用数学归纳法证明几何、整除等问题

利用数学归纳法证明几何问题 　　[例1]　平面内有n(n∈N )个圆，其中每两个圆都相交于两点，并且每三个圆都不相交于同一点，用数学归纳法证明：这n个圆把平面分成f(n)＝n2－n＋2个部分．

　　[思路点拨]　分清当n从k变到k＋1时，增加了几部分．

　　[精解详析]　(1)当n＝1时，f(1)＝12－1＋2＝2，

　　一个圆把平面分成两部分，命题成立．

　　(2)假设n＝k(k∈N )时，命题成立，即k个圆把平面分成f(k)＝k2－k＋2个部分．

　　当n＝k＋1时，第k＋1个圆与其他k个圆相交于2k个点．

　　第k＋1个圆被分成2k条弧，而每条弧把原区域分成2块，因此这个平面被分成的总区域数增加了2k块，

　　即f(k＋1)＝f(k)＋2k＝k2－k＋2＋2k＝(k＋1)2－(k＋1)＋2，

　　故当n＝k＋1时命题也成立．

　　根据(1)和(2)，可知命题对任何n∈N 都成立．

　　[一点通]　用数学归纳法证明几何问题的关键是"找项"，即几何元素从k个变成(k＋1)个时，所证的几何量将增加多少，这需用到几何知识或借助于几何图形来分析，在分析不出来的情况下，将n＝k＋1和n＝k分别代入所证的式子，然后作差，即可求出增加量，然后只需稍加说明即可，这也是用数学归纳法证明几何命题的一大技巧．

　　1．几个半圆的圆心在同一条直线l上，这几个半圆每两个都相交，且都在直线l的同侧，求证这些半圆被所有的交点最多分成的圆弧段数为f(n)＝n2.(n≥2，n∈N )．

　　证明：

　　(1)如图，n＝2时，两个半圆交于一点，

　　则分成4段圆弧，故f(2)＝4＝22.

(2)假设n＝k时，f(k)＝k2成立，