【变式1】如图,在⊙O中,AB是直径,CD是弦,AB⊥CD.

(1)P是上一点(不与C、D重合),试判断∠CPD与∠COB的大小关系, 并说明理由.

(2)点P′在劣弧CD上(不与C、D重合时),∠CP′D与∠COB有什么数量关系?请证明你的结论.

【答案】(1)相等.理由如下:连接OD,∵AB⊥CD,AB是直径,

　∴,∴∠COB= ∠DOB.

　∵∠COD=2∠P,∴∠COB=∠P,即∠COB=∠CPD.

　(2)∠CP′D+∠COB=180°.

　理由如下:连接P′P,

　则∠P′CD=∠P′PD,∠P′PC=∠P′DC.

　∴∠P′CD+∠P′DC=∠P′PD+∠P′PC=∠CPD.

　∴∠CP′D=180°-(∠P′CD+∠P′DC)=180°-∠CPD=180°-∠COB,

　从而∠CP′D+∠COB=180°.

【变式2】如图,AB为半圆O的直径,弦AD、BC相交于点P,若CD=3,AB=4,

求tan∠BPD的值.

【答案】连接BD,则∴AB是直径,∴∠ADB=90°.

∵∠C=∠A,∠D=∠B,∴△PCD ∽△PAB,∴.

在Rt△PBD中,cos∠BPD==,

设PD=3x,PB=4x,

则BD=,

∴tan∠BPD=.

类型二、圆的切线定理及弦切角定理的应用

例3（2016 鞍山一模）如图，直线AB经过⊙O上的点C，并且OA=OB，CA=CB，⊙O交直线OB于E、D，连接EC、CD．

（1）求证：直线AB是⊙O的切线；

（2）若tan∠CED=，⊙O的半径为3，求OA的长．

【思路点拨】（1）要想证AB是⊙O的切线，只要连接OC，求证∠ACO=90°即可；

（2）先由三角形判定定理可知，△BCD∽△BEC，得BD与BC的比例关系，最后由切割线定理列出方程求出OA的长．

【解析】（1）如图，