即存在实数a，使 .

　　一般地。我们有

　　1．"∀x∈M，p(x)"的否定为"∃x∈M，p(x)"．

　　2．"∃x∈M，p(x)"的否定为"∀x∈M，p(x)".

例题解析

例1 写出下列命题的否定：

　（1）所有人都晨练；

　（2）∀x∈R，x2+x+1>0;

　（3）平行四边形的对边相等；

　（4）∃x∈R，x2-x+1=0.

　解：（1）"所有人都晨练"的否定是"有的人不晨练"；

（2）"∀x∈R，x2+x+1>0"的否定是"∃ x∈R，x2+x+1≤0";

（3）"平行四边形的对边相等"是指任何一个四边形的对边相等，它的否定是"存在平行四边形，它的对边不相等" ；

（4）"∃x∈R，x2-x+1=0"的否定是"∀ x∈R，x2-x+1≠0".

　　变式训练

　　分别写出含有一个量词的命题的否定，并判断其真假．

　　(1)有些素数是奇数．

　　(2)所有的矩形都是平行四边形．

　　(3)不论m取何实数，方程x2＋2x－m＝0都有实数根．

　　(4)∃x∈R，x2＋2x＋5>0.

　　解：　(1)是存在性命题，其否定为：所有的素数都不是奇数，假命题．

　　(2)是全称命题，其否定为：存在一个矩形不是平行四边形，假命题．

　　(3)是全称命题，其否定为：存在实数m，使得x2＋2x－m＝0没有实数根．

　　∵Δ＝4＋4m<0，即m<－1时，一元二次方程没有实根，

　　∴其否定是真命题．

　　(4)是存在性命题，其否定为：∀x∈R，x2＋2x＋5≤0.

　　∵Δ＝4－20＝－16<0，

　　∴x2＋2x＋5恒大于0.

　　∴∀x∈R，x2＋2x＋5≤0为假命题．

　　巩固训练

1、写出下列命题的否定，并判断其真假：