基础知识·梳理

　　1．增函数

　　2．减函数

　　【做一做1－1】A　f′(x)＝1－cos x，当x(0,2π)时，f′(x)＞0恒成立，故f(x)在(0,2π)上是增函数．

　　【做一做1－2】C　由f′(x)的图象知，x(－∞，0)或x(2，＋∞)时，f′(x)＞0，故f(x)的增区间为(－∞，0)，(2，＋∞)，同理可得f(x)的减区间为(0,2)．

　　典型例题·领悟

　　【例题1】解：(1)f(x)′＝1－3x2.

　　令1－3x2＞0，解得－＜x＜.因此函数f(x)的单调增区间为.

　　令1－3x2＜0，解得x＜－或x＞.因此函数f(x)的单调减区间为和.

　　(2)由ax－x2≥0得0≤x≤a，即函数的定义域为[0，a]．

　　又f(x)′＝＋x×(ax－x2)－·(a－2x)＝，

　　令f(x)′＞0，得0＜x＜；令f(x)′＜0，得x＜0或x＞a，又x[0，a]，

　　∴函数f(x)的单调增区间为，单调减区间为.

　　【例题2】解：由题意，得f′(x)＝2a＋.

　　∵f(x)在(0,1]内是增函数，∴f′(x)≥0在x(0,1]上恒成立．

　　即a≥－在x(0,1]上恒成立．

　　令g(x)＝－，∵g(x)＝－在(0,1]内是增函数，∴g(x)max＝g(1)＝－1，∴a≥－1，故a的取值范围是[－1，＋∞)．

　　【例题3】证明：设f(x)＝x－ln(1＋x)(x＞1)．

　　∵f′(x)＝1－＝，(x＞1)，

　　∴f′(x)＞0.

　　∴f(x)在(1，＋∞)上是增函数．

　　又f(1)＝1－ln 2＞1－ln e＝0，即f(1)＞0，

　　∴f(x)＞0，

　　即x＞ln(1＋x)(x＞1)．

　　【例题4】错因分析：错解未注意函数的定义域．

　　正解：函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，又f′(x)＝，令＜0，得x＜－或0＜x＜，又∵x＞0，∴f(x)的单调减区间为.

随堂练习·巩固