由＝，得k＝±，所以的最大值为，的最小值为－.

(2)令x－2＝cos α，y＝sin α，α∈[0,2π).

所以y－x＝sin α－cos α－2＝sin(α－)－2，

当sin(α－)＝－1时，y－x的最小值为－－2.

(3)(x－4)2＋(y－3)2是圆上点与点(4,3)的距离的平方，因为圆心为A(2,0)，B(4,3)，

连接AB交圆于C，延长BA交圆于D.

|AB|＝＝，则|BC|＝－，|BD|＝＋，

所以(x－4)2＋(y－3)2的最大值为(＋)2，最小值为(－)2.

【点拨】涉及与圆有关的最值问题，可借助图形性质，利用数形结合求解，一般地：①形如U＝形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题；②形如(x－a)2＋(y－b)2形式的最值问题，可转化为圆心已定的动圆半径的最值问题.

【变式训练2】已知实数x，y满足x2＋y2＝3(y≥0).试求m＝及b＝2x＋y的取值范围.

【解析】如图，m可看作半圆x2＋y2＝3(y≥0)上的点与定点A(－3，－1)连线的斜率，b可以看作过半圆x2＋y2＝3(y≥0)上的点且斜率为－2的直线的纵截距.

由图易得≤m≤，－2≤b≤.

题型三　圆的方程的应用

【例3】在平面直角坐标系xOy中，二次函数f(x)＝x2＋2x＋b(x∈R)与两坐标轴有三个交点，经过三个交点的圆记为C.

(1)求实数b的取值范围；

(2)求圆C的方程；

(3)问圆C是否经过定点(其坐标与b无关)？请证明你的结论.

【解析】(1)令x＝0，得抛物线与y轴交点是(0，b)，

由题意b≠0，且Δ＞0，解得b＜1且b≠0.

(2)设所求圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，

令y＝0，得x2＋Dx＋F＝0，这与x2＋2x＋b＝0是同一个方程，故D＝2，F＝b.

令x＝0，得y2＋Ey＋F＝0，此方程有一个根为b，代入得出E＝－b－1.

所以圆C的方程为x2＋y2＋2x－(b＋1)y＋b＝0.

(3)圆C必过定点，证明如下：

假设圆C过定点(x0，y0)(x0，y0不依赖于b)，将该点的坐标代入圆C的方程，

并变形为x＋y＋2x0－y0＋b(1－y0)＝0，(*)

为使(*)式对所有满足b＜1(b≠0)的b都成立，必须有1－y0＝0，

结合(*)式得x＋y＋2x0－y0＝0，