空间向量的数量积运算

学习目标　1.掌握空间向量夹角概念及表示方法.2.掌握两个向量的数量积的概念、性质、计算方法及运算规律.3.掌握两个向量的数量积的主要用途，能运用数量积求向量夹角和判断向量的共线与垂直．

知识点一　空间向量数量积的概念

思考　如图所示，在空间四边形OABC中，OA＝8，AB＝6，AC＝4，BC＝5，∠OAC＝45°，∠OAB＝60°，类比平面向量有关运算，如何求向量\s\up6(→(→)与\s\up6(→(→)的数量积？并总结求两个向量数量积的方法．

解　∵\s\up6(→(→)＝\s\up6(→(→)－\s\up6(→(→)，

∴\s\up6(→(→)·\s\up6(→(→)＝\s\up6(→(→)·\s\up6(→(→)－\s\up6(→(→)·\s\up6(→(→)

＝|\s\up6(→(→)||\s\up6(→(→)|cos〈\s\up6(→(→)，\s\up6(→(→)〉－|\s\up6(→(→)||\s\up6(→(→)|cos〈\s\up6(→(→)，\s\up6(→(→)〉

＝8×4×cos 135°－8×6×cos 120°＝24－16.

求两个向量的数量积需先确定这两个向量的模和夹角，当夹角和长度不确定时，可用已知夹角和长度的向量来表示该向量，再代入计算．

梳理　(1)定义：已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b.

(2)数量积的运算律

数乘向量与向量数量积的结合律 (λa)·b＝λ(a·b) 交换律 a·b＝b·a 分配律 a·(b＋c)＝a·b＋a·c

(3)空间向量的夹角

①定义：已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作\s\up6(→(→)＝a，\s\up6(→(→)＝b，则∠AOB叫做向量a与b的夹角，记作〈a，b〉．②范围：〈a，b〉∈[0，π]．特别地：当〈a，b〉＝时，a⊥b.

知识点二　空间向量的数量积的性质

两个向量数量积的性质 ①若a，b是非零向量，则a⊥b⇔a·b＝0 ②若a与b同向，则a·b＝|a|·|b|；若反向，则a·b＝－|a|·|b|.

特别地，a·a＝|a|2或|a|＝