利用抛物线定义将FA,FB的长转化为到准线的距离.再结合均值不等式求最值.

A. √3/3 B. √3/2 C. √3 D. √3/4

答案A

解析:设|AF|=a,|BF|=b ，如图，根据抛物线的定义，可知|AF|=|AQ|,|BF|=|BP|，再梯形ABPQ中，有|MN|=1/2 (a+b)，ΔABF中，|AB|^2=a^2+b^2-2abcos 2/3 π=a^2+b^2+ab=(a+b)^2-ab，

又因为ab≤((a+b)/2)^2，所以|AB|^2≥3/4 (a+b)^2⇒|AB|≥√3/2 (a+b) ，

所以|MN|/|AB| ≤(1/2 (a+b))/(√3/2 (a+b) )=√3/3，故最大值是√3/3，故选A.

点评:本题考查了抛物线的综合，抛物线的性质中最重要的一条是抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离相等，利用这条性质可以做出相应的图形，将边长进行转化，本题的另一个难点是利用余弦定理求|AB|，以及利用基本不等式转化为已知焦半径，突破这两点，本题就迎刃而解了.

规律总结: 抛物线中的最值问题常可以结合定义找出所求量的几何意义,利用解三角形的知识结合均值不等式求出最值.也有些题利用两点间连线段最短,点到直线垂线段最短等几何最值.

现学现用3: 已知直线l_1：4x-3y+6=0和直线l_2：x=-1，抛物线y^2=4x上一个动点P到直线l_1与l_2的距离之和的最小值为（ ）

A. 37/16 B. 11/5 C. 3 D. 2

解析:由题可知l_2：x=-1是抛物线y^2=4x的准线

设抛物线的焦点(1，0)为F，则动点P到直线l_2的距离等于|PF|

则动点P到直线l_1与l_2的距离之和的最小值，即焦点F到直线l_1：4x-3y+6=0的距离

∴最小值是|4-0+6|/5=2

故选D