因此在处，函数取得极大值，并且这个极大值就是函数的最大值．

将代入，得最大容积为．学

所以，箱子底边长为40cm时，容积最大，最大容积为16000cm3．

【名师点睛】（1）求几何体面积或体积的最值问题，关键是分析几何体的几何特征，根据题意选择适当的量建立面积或体积的函数，然后再用导数求最值；（2）注意根据实际意义对求出的解进行取舍．

某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池（不计厚度）．设该蓄水池的底面半径为r米，高为h米，体积为V立方米．假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12000π元（π为圆周率）．

（1）将V表示成r的函数V(r)，并求该函数的定义域；

（2）讨论函数V(r)的单调性，并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大．

【答案】（1），；（2）见解析．

（2）因为V(r)＝(300r－4r3)（），所以．

令V′(r)＝0，解得r1＝5，r2＝（因为r2＝不在定义域内，舍去）．

当r∈(0，5)时，V′(r)＞0，故V(r)在(0，5)上为增函数；

当r∈(5，)时，V′(r)＜0，故V(r)在(5，)上为减函数．

由此可知，V(r)在r＝5处取得最大值，此时h＝8，即当r＝5，h＝8时，该蓄水池的体积最大．

最小值问题

实际生活中用料最省、费用最低、损耗最小、最节省时间等问题都需要利用导数求解相应函数的最小值．