归纳推理和类比推理都是根据已有的事实,经过观察、分析、比较、联想,再进行归纳、类比,然后提出猜想的推理,我们把它们统称为合情推理.
3.合情推理的过程
→→→
要点一 归纳推理的应用
例1 观察如图所示的"三角数阵"
1............第1行
2 2............第2行
3 4 3............第3行
4 7 7 4............第4行
5 1114115............第5行
............
记第n(n>1)行的第2个数为an(n≥2,n∈N*),请仔细观察上述"三角数阵"的特征,完成下列各题:
(1)第6行的6个数依次为________、________、________、________、________、________;
(2)依次写出a2、a3、a4、a5;
(3)归纳出an+1与an的关系式.
解 由数阵可看出,除首末两数外,每行中的数都等于它上一行的肩膀上的两数之和,且每一行的首末两数都等于行数.
(1)6,16,25,25,16,6
(2)a2=2,a3=4,a4=7,a5=11
(3)∵a3=a2+2,a4=a3+3,a5=a4+4
由此归纳:an+1=an+n.
规律方法 对于数阵问题的解决方法,既要清楚每行、每列数的特征,又要对上、下行,左、右列间的关系进行研究,找到规律,问题即可迎刃而解.
跟踪演练1 根据下列条件,写出数列中的前4项,并归纳猜想它的通项公式.
(1)a1=3,an+1=2an+1;
(2)a1=a,an+1=;