1 函数的视角看数列
数列是一种特殊的函数,因此在解决数列问题时,要善于利用函数的知识、函数的观点、函数的思想方法来解题,即用共性来解决特殊问题.下面从函数角度对数列有关问题进行分析,体会数列与函数的有机结合.
一、利用函数单调性求数列的最大项
例1 已知数列{an}的通项公式为an=nn+1,n∈N+,则该数列是否有最大项,若有,求出最大项的项数;若无,说明理由.
分析 设an=f(n),可通过函数f(n)的单调性来判断数列的单调性,从而求解.
解 设an=f(n),
则f(n)=nn+1,
f(n+1)=(n+1)n+2.
则f(n+1)-f(n)=(n+1)·n+2-nn+1=n+1·,
当n>3时,f(n+1)-f(n)<0;
当1≤n≤3时,f(n+1)-f(n)>0.
综上可知,{an}在n∈{1,2,3}时,单调递增;
在n∈{4,5,6,7,...}时,单调递减.
所以存在最大项,且第4项为最大项.
点评 数列可以看作是一个定义在正整数集(或其子集)上的函数,当自变量从小到大依次取值时,对应的一组函数值.数列的通项公式体现了数列的项与其序号之间的对应关系.
二、利用函数思想求数列的通项