例1 比较下列各组数中两个值的大小：（投影显示）

（1）log23.4，log23.8；

（2）log0.51.8，log0.52.1；

（3）loga5.1，loga5.9；

（4）log75，log67.

请同学们回顾一下我们利用指数函数的有关性质比较大小的方法和步骤，并完成以下练习.

（生板演前三题，师组织学生进行课堂评价，师生共同讨论完成第四题）

例2 判断函数

f（x）=ln（－x）的奇偶性.

例3（1）证明函数f（x）=log2（x2+1）在（0，+∞）上是增函数；

（2）问：函数f（x）=log2（x2+1）在（－∞，0）上是减函数还是增函数？

例4 已知f（logax）=，其中a＞0，且a≠1.

（1）求f（x）；

（2）求证：f（x）是奇函数；

（3）求证：f（x）在R上为增函数.

课堂练习

课本P85练习3.

例1解：（1）对数函数y=log2x在（0，+∞）上是增函数，且3.4＜3.8.

于是log23.4＜log23.8.

（2）对数函数y=log0.5x在（0，+∞）上是减函数，且1.8＜2.1，

于是log0.51.8＞log0.52.1.

（3）当a＞1时，对数函数y=logax在（0，+∞）上是增函数，

于是loga5.1＜loga5.9；

当0＜a＜1时，对数函数y=logax在（0，+∞）上是减函数，

于是loga5.1＞loga5.9.

（4）因为函数y=log7x和函数y=log6x都是定义域上的增函数，

所以log75＜log77=1=log66＜log67.

所以log75＜log67.

小结：本例是利用对数函数的单调性来比较两个对数式的大小的问题，一般是根据所给对数式的特征，确定一个目标函数，把需要比较大小的对数式看作是对应函数中两个能比较大小的自变量的值对应的函数值，再根据所确定的目标函数的单调性比较两个对数式的大小.当底数为变量时，要分情况对底数进行讨论来比较两个对数的大小.

若题中所给的对数式的底数和真数都不相同时，可以找一个中间量作为桥梁，通过比较中间量与这两个对数式的大小来比较对数式的大小，一般选择"0"或"1"作为中间量进行比较.

例2解：∵＞x恒成立，

故（x）的定义域为（－∞，+∞），

又∵f（－x）=ln（+x）

=－ln

=－ln

=－ln（－x）

=－f（x），

∴f（x）为奇函数.

在根据函数的单调性的定义判断函数单调性的时候，首先应该根据函数的解析式确定函数的定义域，当所给函数的定义域关于原点对称时，再判断f（x）和

f（－x）之间的关系.

f（x）为奇函数

f（－x）=－f（x）

f（x）+f（－x）=0

=－1〔f（x）≠0〕，

f（x）为偶函数f（－x）=f（x）

f（－x）－f（x）=0

=1〔f（x）≠0〕.

在解决具体问题时，可以根据函数解析式的具体特点选择不同的方式来判断.

例3分析：此题目的在于让学生熟悉函数单调性证明通法，同时熟悉利用对数函数单调性比较同底数对数大小的方法.

（1）证明：设x1、x2∈（0，+∞），且x1＜x2，

则f（x1）－f（x2）=log2（x12+1）－log2（x22+1），

∵0＜x1＜x2，

∴x12+1＜x22+1.

又∵y=log2x在（0，+∞）上是增函数，

∴log2（x12+1）＜log2（x22+1），

即f（x1）＜f（x2）.

∴函数f（x）=log2（x2+1）在（0，+∞）上是增函数.

（2）解：是减函数，证明可以仿照上述证明过程.

小结：利用定义证明函数的单调性是研究单调性问题的重要方法.

例4分析：利用换元法，可令t=logax，求出f（x），从而求出f（x）.证明奇函数及增函数可运用定义.

（1）解：设t=logax，则t∈R，

∴x=at（x＞0）.

则f（t）=

=（at－a－t）.

（2）证明：∵f（－x）

=（a－x－ax）

=－（ax－a－x）

=－f（x），

∴f（x）为奇函数.

（3）证明：设x1、x2∈R，且x1＜x2，则f（x2）－f（x1）=[

（a－a－）－（a－a－）］

=[（a－a）+a－a－（a－a）］

=（a－a）（1+a－a－）.

若0＜a＜1，则a2－1＜0，a＞a，

∴f（x2）＞f（x1）.∴y=f（x）在R上为增函数；

若a＞1，则a2－1＞0，a＜a.

∴f（x2）＞f（x1）.∴y=f（x）在R上为增函数.

综上，a＞0，且a≠1时，y=f（x）是增函数.

课堂练习答案：

（1）＜ （2）＜

（3）＞ （4）＞