因为A、B是两个不同的点，且，所以，，

　　由③，得，且是不等于零的有理数;由①，得.

　　此式的左边是无理数，右边是有理数，出现了矛盾。

　　所以，平面上通过点的直线中，至少通过两个有理点的直线只有一条。

　　综上所述，满足上述条件的直线有一条且只有一条。

　　关于唯一性的问题，在几何中有，在代数、三角等学科中也有。这类题目用直接证法证明相当困难，因此一般情况下都采用间接证法。即用反证法或同一法证明，用反证法证明有时比同一法更方便。

三、证明不可能问题

　　几何中有一类问题，要证明某个图形不可能有某种性质或证明具有某种性质的图形不存在。它们的结论命题都是以否定形式出现的，若用直接证法证明有一定的困难。而它的否定命题则是某个图形具有某种性质或具有某种性质的图形存在，因此，这类问题非常适宜用反证法。

　　例3：给定实数a，a≠0且a≠1，设函数y＝ (其中x∈R且x≠)，证明：①.经过这个函数图像上任意两个不同点的直线不平行于x轴； ②.这个函数的图像关于直线y＝x成轴对称图像.

　　分析:"不平行"的否定是"平行"，假设"平行"后得出矛盾从而推翻假设。

　　证明: ① 设M(x,y)、M(x,y)是函数图像上任意两个不同的点，则x≠x,

　　假设直线MM平行于x轴，则必有y＝y，即＝

　　整理得a(x－x)＝x－x ∵x≠x ∴ a＝1

　　这与已知"a≠1"矛盾,因此假设不对,即直线MM不平行于x轴。

　　② 由y＝得axy－y＝x－1,即(ay－1)x＝y－1,所以x＝，

即原函数y＝的反函数为y＝，图像一致。