1．1.2　余弦定理(一)

学习目标　1.掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法.2.会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题．

知识点一　余弦定理的推导

思考1　根据勾股定理，若△ABC中，∠C＝90°，则c2＝a2＋b2＝a2＋b2－2abcos C．①

试验证①式对等边三角形还成立吗？你有什么猜想？

答案　当a＝b＝c时，∠C＝60°，

a2＋b2－2abcos C＝c2＋c2－2c·ccos 60°＝c2，

即①式仍成立，据此猜想，对一般△ABC，都有c2＝a2＋b2－2abcos C.

思考2　在c2＝a2＋b2－2abcos C中，abcos C能解释为哪两个向量的数量积？你能由此证明思考1的猜想吗？

答案　abcos C＝|\s\up6(→(→)||\s\up6(→(→)|cos\s\up6(→(→)，\s\up6(→(→)＝\s\up6(→(→)·\s\up6(→(→).

∴a2＋b2－2abcos C

＝\s\up6(→(→)2＋\s\up6(→(→)2－2\s\up6(→(→)·\s\up6(→(→)

＝(\s\up6(→(→)－\s\up6(→(→))2＝\s\up6(→(→)2＝c2.

猜想得证．

梳理　余弦定理的发现是基于已知两边及其夹角求第三边的需要．因为两边及其夹角恰好是平面向量一组基底的条件，所以能把第三边用基底表示进而求出模长．

另外，也可通过建立坐标系利用两点间距离公式证明余弦定理．

知识点二　余弦定理的呈现形式

1．a2＝b2＋c2－2bccos_A，b2＝c2＋a2－2cacos_B，

c2＝a2＋b2－2abcos_C.

2．cos A＝；

cos B＝；

cos C＝.

知识点三　适宜用余弦定理解决的两类基本的解三角形问题

思考1　观察知识点二第1条中的公式结构，其中等号右边涉及几个量？你认为可用来解