1．在直角坐标系中，如果某曲线C上的点与一个二元方程的实数解建立了如下关系：

(1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解；（纯粹性）

(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点．（完备性）

那么，这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线

2.讨论：曲线可以看作是由点组成的集合，记作C；一个关于x,y的二元方程的解可以作为点的坐标，因而二元方程的解也描述了一个点集，记作F

请大家思考：如何用集合C和点集F间的关系来表达"曲线的方程"和"方程的曲线"定义中的两个关系，进而重新表述以上定义

关系(1)指集合C是点集F的子集，关系(2)指点集F是点集合C的子集．

这样根据集合的性质，可以用集合相等的概念来定义"曲线的方程"与"方程的曲线"，

即：

3．练习：下列方程表示如图所示的直线C，对吗？为什么？

（1）;

（2）;

（3）|x|-y=0.

上题供学生思考，口答．

解：方程(1)、(2)、(3)都不是表示曲线C的方程．

第（1）题中曲线C上的点不全都是方程的解，如点(-1,-1)等，即不符合"曲线上的点的坐标都是方程的解"这一结论；

第(2)题中，尽管"曲线C上的坐标都是方程的解"，但以方程的解为坐标的点不全在曲线C上，如点(2，-2)等，即不符合"以方程的解为坐标的点都在曲线上"这一结论；

第(3)题中，类似(1)(2)得出不符合"曲线上的点的坐标都是方程的解"，"以方程的解为坐标的点都在曲线上"．事实上，(1)(2)(3)中各方程表示的曲线应该是下图的三种情况：

　　 1．例1：证明与两条坐标轴的距离的积是常数的点的轨迹方程是

证明：（1）如图，设是轨迹上的任意一点，因为点M与x轴的距离为，与y轴的距离为，所以：

，即是方程的根；

（2）设点的坐标是方程的根，

则：，即 ，而、是点到横轴、纵轴的距离，因此点到这两条直线的距离的积是常数k，点是曲线上的点。

由（1）（2）可知，是与两条坐标轴的距离的积为常数的点的轨迹方程