3 基本不等式

3.1 基本不等式

学习目标1.理解基本不等式的内容及证明.2.能熟练运用基本不等式来比较两个实数的大小.3.能初步运用基本不等式证明简单的不等式．

知识点一 算术平均数与几何平均数

思考 如图，AB是圆O的直径，点Q是AB上任一点，|AQ|＝a，|BQ|＝b，过点Q作PQ垂直于AB交圆O于点P，连接AP，PB.如何用a，b表示PO，PQ的长度？

答案 |PO|＝＝.易证Rt△APQ∽Rt△PBQ，那么|PQ|2＝|AQ|·|QB|，即|PQ|＝.

梳理 如果a，b都是非负数，那么≥，当且仅当a＝b时，等号成立．我们称上述不等式为基本不等式，又称为均值不等式．其中称为a，b的算术平均数，称为a，b的几何平均数．两个非负数的算术平均数不小于它们的几何平均数．

知识点二 基本不等式及其常见推论

≤(a≥0，b≥0)．当a，b赋予不同的值时，可得以下推论：

(1)ab≤2≤(a，b∈R)；

(2)＋≥2(a，b同号)；

(3)a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca(a，b，c∈R)．

1．对于任意a，b∈R，a2＋b2≥2ab，a＋b≥2均成立．(×)

2.≥.(√)

3．若a>0，b>0，则ab≤恒成立．(×)