2019-2020学年北师大版选修2-2 函数的单调性与导数 学案
2019-2020学年北师大版选修2-2     函数的单调性与导数     学案第2页



答 (1)在区间(-∞,+∞)内,y′=1>0,y是增函数;

(2)在区间(-∞,0)内,y′=2x<0,y是减函数;

在区间(0,+∞)内,y′=2x>0,y是增函数;

(3)在区间(-∞,+∞)内,y′=3x2≥0,y是增函数;

(4)在区间(-∞,0),(0,+∞)内,y′=-<0,y是减函数.

小结 一般地,函数的单调性与其导函数的正负有如下关系:

在某个区间(a,b)内,如果f′(x)>0,那么函数y=f(x)在这个区间内单调递增;如果f′(x)<0,那么函数y=f(x)在这个区间内单调递减.

思考3 若函数f(x)在区间(a,b)内单调递增,那么f′(x)一定大于零吗?

答 不一定.由思考2中(3)知f′(x)≥0恒成立.

思考4 (1)如果一个函数具有相同单调性的单调区间不止一个,那么如何表示这些区间?试写出思考2中(4)的单调区间.

(2)函数的单调区间与其定义域满足什么关系?

答 (1)不能用"∪"连接,只能用","或"和"字隔开.思考2中(4)的单调递减区间为(-∞,0),(0,+∞).

(2)函数的单调性是对函数定义域内的某个子区间而言的,故单调区间是定义域的子集.

例1 已知导函数f′(x)的下列信息:

当10;

当x>4,或x<1时,f′(x)<0;

当x=4,或x=1时,f′(x)=0.

试画出函数f(x)图象的大致形状.

解 当10,可知f(x)在此区间内单调递增;

当x>4,或x<1时,f′(x)<0,可知f(x)在这两个区间内单调递减;

当x=4,或x=1时,f′(x)=0,这两点比较特殊,我们称它们为"临界点".

综上,函数f(x)图象的大致形状如图所示.

反思与感悟 本题具有一定的开放性,图象不唯一,只要能抓住问题的本质,即在相应区