例3、求下列函数的导数：

（1）； （2）；

（3）

对于（1）

①能否用学过四则运算解决问题?

②新方法：将函数看作是函数和函数复合函数，并分别求对应变量的导数如下：，

两个导数相乘，得

，

　　从而有

　　对于一般的复合函数，结论也成立，以后我们求y′x时，就可以转化为求yu′和u′x的乘积，关键是找中间变量，随着中间变量的不同，难易程度不同。

（学生自主完成（2）、（3））。

例4、求y=sin2(2x+)的导数

分析: 设u=sin(2x+)时，求，但此时u仍是复合函数，所以可再设v=2x+.

解略. 1、求的导数．

　　解：

　　【点评】

　　求复合函数的导数，关键在于搞清楚复合函数的结构，明确复合次数，由外层向内层逐层求导，直到关于自变量求导，同时应注意不能遗漏求导环节并及时化简计算结果．

2、求的导数．

　　解：

　　【点评】本题练习商的导数和复合函数的导数．求导数后要予以化简整理．

3、求y ＝sin4x ＋cos 4x的导数．

　　【解法一】y ＝sin 4x ＋cos 4x＝(sin2x ＋cos2x)2－2sin2cos2x＝1－sin22 x

　　＝1－（1－cos 4 x）＝＋cos 4 x．y′＝－sin 4 x．

　　【解法二】y′＝(sin 4 x)′＋(cos 4 x)′＝4 sin 3 x(sin x)′＋4 cos 3x (cos x)′

　　＝4 sin 3 x cos x ＋4 cos 3 x (－sin x)＝4 sin x cos x (sin 2 x －cos 2 x)

　　＝－2 sin 2 x cos 2 x＝－sin 4 x

　　【点评】

　　解法一是先化简变形，简化求导数运算，要注意变形准确．解法二是利用复合函数求导数，应注意不漏步．

4、曲线y ＝x（x ＋1）（2－x）有两条平行于直线y ＝x的切线，求此二切线之间的距离．

　　【解】y ＝－x 3 ＋x 2 ＋2 x y′＝－3 x 2＋2 x ＋2

　　令y′＝1即3 x2－2 x －1＝0，解得 x ＝－或x ＝1．

　　于是切点为P（1，2），Q（－，－），

　　过点P的切线方程为，y －2＝x －1即 x －y ＋1＝0．

　　显然两切线间的距离等于点Q 到此切线的距离，故所求距离为＝．