晚会上有8个唱歌节目和3个舞蹈节目，若3个舞蹈节目在节目单中都不相邻，求不同的节目单的种数．

　　解：先排8个唱歌节目共有A种不同方法，然后从唱歌节目之间及两端共有9个间隙中选3个，将3个舞蹈节目插入，有A种方法，由分步计数原理知，不同的节目单的种数为A·A＝20 321 280.

　　解决不相邻问题常用插空法，要先把不相邻的元素抽出来，剩余的元素进行全排列，然后把抽出来的元素插入全排列时元素之间及两端形成的空隙中，注意两端也是"空隙"．

　　1．记者要为5名志愿者和他们帮助过的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相邻但不在两端的排法有__________种．

　　答案：960

　　解析：5名志愿者先全排有A种，2位老人作为一个元素插空，并且两位老人左右有别，故共有A·C·A＝960种不同的排法．

　　2．由1,2,3,4,5,6组成没有重复数字且1,3都不与5相邻的六位偶数有__________个．

　　答案：108

　　解析：插空法，先排2,4,6共有A种方法；

　　若1,3,5都不相邻，则有A种方法，若1,3相邻，则有AA种方法；

　　∴共有A(A＋AA)＝108种不同的排法．

　　3．某单位安排7位员工在10月1日至7日值班，每天安排1人，每人值班1天，若7位员工中的甲、乙排在相邻两天，丙不排在10月1日，丁不排在10月7日，则不同的排法有__________种．

　　答案：1 008

　　解析：若丙排在10月1日，共有A·A＝240种不同的排法，若丁排在10月7日，共有A·A＝240种不同的排法，若丙排在1日且丁排在7日，共有AA＝48种不同的排法，若不考虑丙丁的条件限制，共有A·A＝1 440种不同的排法，

　　∴符合题意的排法的种数为1 440－240－240＋48＝1 008.

　　4．有11名外语翻译人员，其中5名是英语译员，4名是日语译员，另外两名英、日都精通，从中找出8人，使他们可以组成两个翻译小组，其中4人翻译英语，另外4人翻译日语，这两个小组能同时工作，问这样的8人名单可开出几张？

　　解：按英、日语都会的翻译人员的参与情况，分成三类：

　　第1类，"英、日都会的翻译人员"不参加，有CC种；

　　第2类，"英、日都会的翻译人员"有一人参加，该人可参加英语，也可参加日语，因而有(CCC＋CCC)种；

　　第3类，"英、日都会的翻译人员"均参加，这时又分三种情况：两人都译英语，两人都译日语，一人译英、一人译日，因而有(CC＋CC＋CCC)种．

　　由分类计数原理知，可开出名单共有CC＋CCC＋CCC＋CC＋CC＋CCC＝185种．

　　5．7位同学站成一排合影留念，

　　(1)其中甲不站排头，乙不站排尾的排法有多少种？

　　(2)甲、乙和丙三位同学必须相邻的排法共有多少种？

　　(3)甲、乙和丙三位同学都不能相邻的排法共有多少种？

　　解：(1)用剔除法：总排有A种，不符合条件的甲在排头和乙在排尾的排法均为A，但这两种情况均包含了甲在排头同时乙在排尾的情况共有A种．

　　∴甲不站排头，乙不站排尾的排法有A－2A＋A＝3 720种．

　　(2)用捆绑法：第一步，将甲、乙和丙三人"捆绑"成一个大元素与另外4人的排列为A种，第二步，"释放"大元素，即甲、乙和丙在捆绑成的大元素内的排法有A种，

∴甲、乙和丙三位同学必须相邻的排法共有A·A＝720种．