用排序不等式证明不等式

　　设a1、a2...an互不相同且为正整数，求证：

　　1＋＋＋...＋≤a1＋＋＋...＋.

　　[思路点拨]　本题证明关键是构造本不等式中用到的一些数字如1、、等，并比较出大小．

　　[证明]　设b1，b2，...，bn是a1，a2，...，an的一个排列，且满足b1

　　∴b1≥1，b2≥2，...，bn≥n.

　　又∵1>>>...>，

　　由排序不等式，得

　　a1＋ ＋＋...＋＝b1＋＋＋...＋

　　≥1×1＋2×＋3×＋...＋n×

　　＝1＋＋＋...＋.

　　[规律方法]　利用排序不等式证明不等式，关键是构造出不等式中所需要的带大小顺序的两个数组．

　　变式训练1　已知a，b，c为正数，a≥b≥c，求证：

　　(1)≥≥；

　　(2)＋＋≥＋＋.

　　证明：(1)∵a≥b>0，于是≤，

　　又c>0，∴>0，从而≥.

　　同理，∵b≥c＞0，于是≤，

　　∵a>0，∴>0，于是得≥.

从而≥≥.