§4 导数的四则运算法则

自主整理

1.两个函数___________等于这两个函数___________,即

［f(x)+g(x)］′=___________,

［f(x)-g(x)］′=___________.

2.若两个函数f(x)和g(x)的导数分别是f′(x)和g′(x),则

［f(x)g(x)］′=___________,

［］′=___________.

高手笔记

1.可导函数的四则运算法则是解决导数四则运算的求导法则,也是进一步学习导数的基础,因此,必须透彻理解函数求导法则的结构内含,注意挖掘知识的内在联系及其规律.

2.应用求导公式和求导法则之前,先利用代数、三角恒等变形对函数进行化简,然后再求导,这样可以减少运算量,提高运算速度,避免出错.

3.对于［f(x)±g(x)］′=f′(x)±g′(x)可以推广到任意有限个.

4.［Cf(x)］′=Cf′(x)(C为常数).

名师解惑

应用导数的运算法则有哪些要求?

剖析:应用导数的运算法则前应该判断每个函数是否都可导.若两个函数可导,则它们的和、差、积、商(商的分母不为零)必可导;若两个函数不可导,但是它们的和、差、积、商不一定不可导.

讲练互动

【例1】求下列函数的导数:

(1)y=2x5+3x4-4x3+5x2-6x+7;

(2)y=x3+sinx;

(3)y=ex-lnx.

解析:利用导数公式表和导数的加减运算法则求解.

解:(1)y′=(2x5)′+(3x4)′-(4x3)′+(5x2)′-(6x)′+(7)′=10x4+12x3-12x2+10x-6.

(2)y′=(x3)′+(sinx)′=3x2+cosx.

(3)y′=(ex)′-(lnx)′=ex.

绿色通道

利用导数公式表和求导的运算法则可以比较简捷地求出函数的导数.

导数的加法和减法法则可以推广到任意有限个,其中［Cf(x)］′=C·f′(x)(C是常数).

变式训练

1.求函数y=2x3++cosx的导数.

解析:可以根据导数公式表和导数的加减运算法则求导数.

解:y′=(2x3)′+()′+(cosx)′=6x2+-sinx.

2.对任意x,有f′(x)=4x3,且f(1)=3,则( )

A.f(x)=x4 B.f(x)=x4+2 C.f(x)=x3+2 D.f(x)=4x3-1