1.已知汽车做变速直线运动,在时刻t的速度为v(t)=-t2+2t(单位:km/h),求它在1≤t≤2这段时间行驶的路程是多少?
解:将时间区间[1,2]等分成n个小区间,
则第i个小区间为,
在第i个时间段的路程近似为ΔSi=vΔt=·,i=1,2,...,n.
所以Sn=Si=·=-[(n+1)2+(n+2)2+(n+3)2+...+(2n)2]+
[(n+1)+(n+2)+...+2n]
=-+·
=-++3+,
n→+∞时,-++3+→S.
则当n→∞时,-+
+3+→.
由此可知,S=.
所以这段时间行驶的路程为 km.
利用定积分的几何意义求定积分 [例2] 利用定积分的几何意义,求:
(1) dx;
(2) (2x+1)dx.
[思路点拨] f(x)dx的几何意义:介于x=a,x=b之间,x轴上、下相应曲边平面图形面积的代数和.