类型一　公理4的应用

　　例1　如图，E，F分别是长方体ABCD－A1B1C1D1的棱A1A，C1C的中点．求证：四边形B1EDF为平行四边形．

　　【证明】　

　　如图所示，取DD1的中点Q，连接EQ，QC1.

　　∵E是AA1的中点，∴EQ綊A1D1.

　　∵在矩形A1B1C1D1中，A1D1綊B1C1，∴EQ綊B1C1，

　　∴四边形EQC1B1为平行四边形，∴B1E綊C1Q.

　　又Q，F分别是D1D，C1C的中点，∴QD綊C1F，

　　∴四边形DQC1F为平行四边形，

　　∴C1Q綊FD.又B1E綊C1Q，∴B1E綊FD，

　　∴四边形B1EDF为平行四边形.

　　公理4主要用于证明直线平行，只要找到一条直线与两条直线都平行，就可以证明两条直线互相平行，除了公理4 ，利用平面几何知识也可以证明线线平行．

　　方法归纳

　　证明空间中两条直线平行的方法

　　(1)利用平面几何的知识(三角形与梯形的中位线、平行四边形的性质、平行线分线段成比例定理等)来证明．

　　(2)利用公理4，即找到一条直线c，使得a∥c，同时b∥c，由公理4得到a∥b.

跟踪训练1　已知四边形ABCD是空间四边形，E，H分别是边AB，AD的中点，F，G分别是边CB，CD上的点，且＝＝.求证：四边形EFGH有一组对边平行但不相等．