[例2] 在平面直角坐标系中,求曲线x2+y2=1先后经过两次变换和后得到的曲线方程.
[解] 设经过变换后得到曲线C1,把代入x2+y2=1得x′2+4y′2=1,即C1:x2+4y2=1.又设曲线C1经过变换后得到曲线C2,把代入x2+4y2=1得+4y′2=1,即+=1为所求的曲线方程.
极坐标方程 在给定的平面上的极坐标系下,有一个二元方程F(ρ,θ)=0.
如果曲线C是由极坐标(ρ,θ)满足方程的所有点组成的,则称此二元方程F(ρ,θ)=0为曲线C的极坐标方程.
由于平面上点的极坐标的表示形式不唯一,因此曲线的极坐标方程和直角坐标方程也有不同之处,一条曲线上的点的极坐标有多组表示形式,有些表示形式可能不满足方程,这里要求至少有一组能满足极坐标方程.
求轨迹方程的方法有直接法、定义法、相关点代入法,在极坐标中仍然适用,注意求谁设谁,找出所设点的坐标ρ,θ的关系.
[例3] 在平面直角坐标系中,已知点A(3,0),P是圆x2+y2=1上的一个动点,且∠AOP的平分线交PA于点Q,求点Q的轨迹的极坐标方程.
[解] 以O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,设P(1,2θ),Q(ρ,θ),
则由S△OQA+S△OQP=S△OAP,
得·3ρsin θ+ρsin θ=×3×1×sin 2θ,
化简得ρ=cos θ.
所以点Q的轨迹的极坐标方程为ρ=cos θ.
极坐标与直角坐标的互化 互化的前提依旧是把直角坐标系的原点作为极点,x轴的正半轴作为极轴并在两种坐标系下取相同的单位长度.
互化公式为